特征多项式和最小多项式

对于复数域上 n 阶方阵 $A=[a_{ij}]$，它的特征多项式

是 $\lambda$ 的 n 次多项式。$f(\lambda)\triangleq det(\lambda I_n-A)=\lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+\dots+b_{n-1}\lambda+b_n$ 这个多项式在复数域有 n 个根 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ (有重根时重复出现)，故 $f(\lambda)$ 又可表示为 $f(\lambda)\triangleq det(\lambda I_n-A)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\dots(\lambda-\lambda_n)$

方阵 A 的迹 trA (即 A 的对角线元素之和) 等于 A 的所有特征值 (可以相重) 的和。A 的行列式的值等于所有特征值的乘积。

定义方阵 A 的多项式为 $a_0A^m+a_1A^{m-1}+\dots+a_mI$，并把它看作是多项式 $g(t)=a_0t^m+a_1t^{m-1}+\dots+a_m$ 中代换 t 为 A 的结果，记为 g(A)，它是与 A 同阶的方阵。

设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值是 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，相应的特征向量分别为 $x_1,x_2,\dots,x_n$，而 g(t) 是一多项式，那么 g(A) 的 n 个特征值是 $g(\lambda_1),g(\lambda_2),\dots,g(\lambda_n)$

，且为 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 分别是相应的特征向量。

方阵 $A≠0$，如果存在正整数 k，使 $A^k=O$，则称为幂零矩阵。幂零矩阵的特征值必是0，事实上，设 $\lambda_0$ 是幂零矩阵 A 的特征值，$x_0$是相应的特征向量，则由上述定理知 $0=A^kx_0=\lambda_0^kx_0,x_0\neq0$ 故 $\lambda_0^k=0$，即 $\lambda_0=0$。

Sylverster定理：设 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×m 矩阵(m≥n)，方阵 AB，BA 的特征多项式分别为 $f_{AB}(\lambda),f_{BA}(\lambda)$，则有 $f_{AB}(\lambda)=\lambda^{m-n}f_{BA}(\lambda)$。m 阶方阵 AB 与 n 阶方阵 BA 的非零特征值是相同的。

设 A 是一个 n 阶方阵，g(t) 是一多项式，如果 g(A)=O，则称 g(t) 是 A 的零化多项式。如果 g(t) 是 A 的一个零化多项式，而 h(t) 是任一多项式，则 h(t)g(t) 是 A 的零化多项式，因此方阵的零化多项式不是唯一的。

Cayley-Hamilton定理：设 n 阶方阵 A 的特征多项式为 $f(\lambda)\triangleq det(\lambda I-A)=\lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+\dots+b_{n-1}\lambda+b_n$，则 f(A)=O，即 A 的特征多项式是 A 的一个零化多项式。

A 的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为 A 的最小多项式，记为 $m_A(\lambda)$。A 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 可整除 A 的任何零化多项式 $g(\lambda)$，且 $m_A(\lambda)$ 是唯一的。

$\lambda_0$ 是 A 的特征值的充分必要条件是 $\lambda_0$ 是 A 的最小多项式 $m_A(\lambda)$ 的根。事实上，设 A 的所有不同的特征值是 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\dots(\lambda-\lambda_s)^{n_s}$，且 $n_1+n_2+\dots+n_s=n$，则 A 的最小多项式一定有如下形式：$m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\dots(\lambda-\lambda_s)^{k_s}$，并且 $1\le k_i\le n_i(i=1,2,\dots,s)$ 若 A 的特征值的代数重数都为 1，那么 $m_A(\lambda)=f(\lambda)$。

n 阶方阵 A 可对角化(即相似于对角矩阵)的充分必要条件是，A 的最小多项式没有重根。

Jordan标准形

形式为

的 $r\ge1$ 阶方阵称为一个Jordan块，其中 $\lambda$ 是实数或复数。由若干个(包括单个)Jordan块所构成的对角块矩阵称为Jordan矩阵。

复数域上任一 n 阶方阵都相似于一个Jordan矩阵，并且Jordan块的个数等于该方阵的线性无关特征向量的个数。

设 $\lambda_0$ 是方阵 A 的特征值，如果对于向量 x，存在一个正整数 k，使 $(A-\lambda_0I)^{k-1}x\ne0$，但 $(A-\lambda_0I)^kx=0$，则称 x 为 A 关于 $\lambda_0$ 的 k 级根向量(或广义特征向量)。简称 x 为 $\lambda_0$ 的 k 级根向量。按根向量的定义可知，1级根向量为特征向量，反之，特征向量必为1级根向量。

设 $\lambda_0$ 是方阵 A 的特征值，则 A 关于 $\lambda_0$ 的不同级的根向量是线性无关的。

A 关于不同特征值的根向量是线性无关的。

设 $\lambda_0$ 是 A 的 k 重特征值，$(A-\lambda_0I)^k$ 的零空间 $N[(A-\lambda_0I)^k]=\{x|(A-\lambda_0I)^kx=0\}$ 称为 A 关于 $\lambda_0$ 的根空间，简称 $\lambda_0$ 的根空间，记为 $N_{\lambda_0}$。$N_{\lambda_0}$ 是 $\lambda_0$ 的级数至多到 k 的所有根向量所张成的线性空间，并且 $N_{\lambda_0}$ 是 A 的不变子空间。$N_{\lambda_0}$ 中根向量的最高级数 r 称为 $\lambda_0$ 的指标，r 可能小于k，从而 $N_{\lambda_0}=N\left \lfloor (A-\lambda_0I)^r \right \rfloor$。r 即是关于 $\lambda_0$ 的子Jordan矩阵中Jordan块的最大阶数。

设 n 阶方阵 A 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\dots(\lambda-\lambda_s)^{n_s}$ 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$ 是 A 的所有不同的特征值，$n_1,n_2,\dots,n_s$ 是相应的代数重数，则有 $N_{\lambda_1}\oplus N_{\lambda_2}\oplus\dots\oplus N_{\lambda_s}=C^n$。

对方阵 A 的 Jordan 标准的结构得到下列几点结论：

• A 的 Jordan 标准形中子 Jordan 矩阵的数目等于 A 的不同的特征值的个数；
• 每个子 Jordan 矩阵的阶数等于相应的根空间的维数，亦即相应特征值的代数重数；
• 每个子 Jordan 矩阵中 Jordan块的数目恰好等于相应特征值的线性无关的特征向量的个数，即特征子空间的维数，亦即相应特征值的几何重数；
• 每个子 Jordan 矩阵中 Jordan 块的最大阶数恰好等于相应特征值的指标，也即相应的根空间中根向量的最高级数。

Jordan标准型的应用：矩阵函数 $e^A$ 的计算。设 A 的Jordan标准型 $J=P^{-1}AP$，即 $A=PJP^{-1}$。$\displaystyle e^A=I+\sum^\infty_{k=1}\frac{A^k}{k!}=I+\sum^\infty_{k=1}\frac{(PJP^{-1})^k}{k!}=P(I+\sum^\infty_{k=1}\frac{J^k}{k!})P^{-1}$ 则 $e^A=Pe^JP^{-1}$

设 J 的的所有子Jordan块为 $J_1,J_2,…,J_K$，对应的（可重复）特征值为 $λ_1,λ_2,…,λ_K$，则

Jordan块幂函数 $e^{J_i}$ 的计算：记第 i 个Jordan子块为

综上所述，

其中子矩阵

含参数的矩阵函数 $e^{At}$ 的计算：对于任意参数 t

其中