依概率收敛

设随机变量 $X$ 与随机变量序列 $\{X_n\}(n=1,2,3,…)$，如果对任意的 $\varepsilon>0$，有

则称随机变量序列 $\{X_n\}$ 依概率收敛于随机变量 $X$ ，记为 $\lim\limits_{n\to\infty}X_n=X(P)$ 或 $X_n\mathop{\to}\limits^PX~(n\to\infty)$。

即给定 $\{X_n\}$ ，数 $a$，若 $\forall\varepsilon>0$，$\lim\limits_{n\to\infty}P\{|X_n-a|<\varepsilon\}=1\Rightarrow X_n\mathop{\to}\limits^Pa$

设 $X_n\mathop{\to}\limits^PX,Y_n\mathop{\to}\limits^PY,g(x,y)$ 是二元连续函数，则 $g(X_n,Y_n)\mathop{\to}\limits^Pg(X,Y)$。一般地，对于 $m$ 元连续函数，结论亦成立。

大数定律

1. 切比雪夫大数定律：假设 $\{X_n\}(n=1,2,…)$ 是相互独立的随机变量序列，如果方差 $DX_i(i\geq1)$ 存在且一致有上界，即存在常数 $C$ ，使得 $DX_i\leq C$ 对一切 $i\geq1$ 均成立，则 $\{X_n\}$ 服从大数定律：

2. 伯努利大数定律：假设 $\mu_n$ 是 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，在每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p(0<p<1)$ ，则 $\frac{\Large \mu_n}{\Large n}\mathop{\to}\limits^{P}p$ ，即对任意 $\varepsilon>0$ ，有

3. 辛钦大数定律：假设 $\{X_n\}$ 是独立同分布的随机变量序列，如果 $EX_i=\mu(i=1,2,...)$ 存在，则 $\large \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\mathop{\to}\limits^P\mu$ ，即对任意 $\varepsilon>0$，有

4. 考条件：

   • 切比雪夫大数定律要求：相互独立；方差一致有上界；
   • 辛钦大数定律要求：相互独立；同分布；期望存在；

5. 考结论：在满足一定条件下，大数定律均为：$\Large\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\mathop{\to}\limits^PE(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i)$ (随机变量收敛到一个数，均值 $\mathop{\to}\limits^P$ $\large E(均值)$)

   在大样本情况下 $n\to\infty$，均值趋于稳定。

中心极限定理

1. 列维-林德伯格定理：假设 $\{X_n\}$ 是独立同分布的随机变量序列，如果 $EX_i=\mu,DX_i=\sigma^2>0~(i=1,2,...)$ 存在，则对任意的实数 $x$ ，有

   当 $n$ 很大时，有 $P\{a<\sum\limits_{i=1}^nX_i<b\}\approx\Phi(\Large\frac{b-n\mu}{\Large\sqrt[]{n}\sigma})-\Phi(\Large\frac{a-n\mu}{\Large\sqrt[]{n}\sigma})$

2. 棣莫弗-拉普拉斯定理：假设随机变量 $Y_n\sim B(n,p)~(0<p<1,n\geq1)$ ，则对任意实数 $x$，有

   如果记 $X_i\sim B(1,p)~(0<p<1)$ 且相互独立，则 $Y_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i \sim B(n,p)$ 由列维-林德伯格定理推出棣莫弗-拉普拉斯定理。

3. 二项分布概率计算的三种方法，设 $X\sim B(n,p)$

• 当 $n$ 不太大时 ($n\leq10$)，直接计算：$P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},k=0,1,...,n$
• 当 $n$ 较大且 $p$ 较小时 ($n>10,p<0.1$)，$\lambda=np$ 适中，根据泊松定理有近似公式：$P\{X=k\}=C_n^kp^k(1一p)^{n-k}\approx\frac{\large \lambda^k}{\large k!}e^{-\lambda}$
• 当 $n$ 较大而 $p$ 不太大时 ($p<0.1,np\geq10$)，根据中心极限定理，有近似公式：$P\{a<X<b\}\approx\Phi(\Large\frac{b-np}{\Large\sqrt[]{np(1-p)}})-\Phi(\Large\frac{a-np}{\Large\sqrt[]{np(1-p)}})$

4. 考结论：不论 $X_i\mathop\sim\limits^{iid}F(\mu,\sigma^2)$，$\mu=EX_i$，$\sigma^2=DX_i$ $\Rightarrow$ $\large\sum\limits_{i=1}^nX_i\mathop\sim\limits^{n\to\infty}N(n\mu,n\sigma^2)$ $\Rightarrow$ $\Large\frac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt[]{n}\sigma}\mathop\sim\limits^{n\to\infty}\large N(0,1)$，即