研究对象的某数量指标的全体称为总体 $X$，$n$ 个相互独立且与总体 $X$ 具有相同概率分布的随机变量 $X_1,X_2,…,X_n$ 所组成的整体 $(X_1,X_2,…,X_n)$ 称为来自总体 $X$ 的容量为 $n$ 的一个简单随机样本，简称样本。一次抽样结果的 $n$ 个具体数值 $(x_1,x_2,…,x_n)$ 称为样本 $X_1,X_2,…,X_n$ 的一个观测值(或样本值)。

设 $X_1,X_2,…,X_n$ 为来自总体 $X$ 的一个样本，$g(x_1,x_2,…,x_n)$ 为 $n$ 元函数，如果 $g$ 中不含任何未知参数，则称 $g(X_1,X_2,…,X_n)$ 为样本 $X_1,X_2,…,X_n$ 的一个统计量。若 $(x_1,x_2,…,x_n)$ 为样本值，则称 $g(x_1,x_2,…,x_n)$ 为 $g(X_1,X_2,…,X_n)$ 的观测值。统计量就是由统计数据计算得来的量，统计量是随机样本的函数，也是随机变量。

统计量

设 $X_1,X_2,…,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则相应的样本数字特征 (统计量) 定义如下：

• 样本均值：$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i$；

• 样本方差：$\large S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2=\frac{1}{n-1}(\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-n\bar{X}^2)$；(注意系数为 $n-1$)(样本均值与样本方差独立)

  样本标准差：$S=\sqrt[]{\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}$；

• 样本 $k$ 阶原点矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k~(k=1,2,...)$；

• 样本 $k$ 阶中心矩：$B_k=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^k~(k=2,3,...)$；

• 顺序统计量：将样本 $X_1,X_2,…,X_n$ 的 $n$ 个观测量按其取值从小到大的顺序排列，得 $X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq ...\leq X_{(n)}$。随机变量 $X_{(k)}(k=1,2,…,n)$ 称作第 $k$ 顺序统计量，其中 $X_{(1)}$ 是最小观测量，而 $X_{(n)}$ 是最大观测量： $X_{(1)}=\min\{X_1,X_2,…,X_n\},\quad X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,…,X_n\}$ 。

常用统计量的性质：设总体 $X$ 的期望 $EX=\mu$，方差 $DX=\sigma^2$，即 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$， $X_1,X_2,…,X_n$ 是取自总体 $X$ ，容量为 $n$ 的一个样本，$\bar{X},S^2$ 分别为样本的均值和方差，则 $\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

统计量的分布

定义：统计量的分布称为抽样分布。

$\chi^2$ 分布

若随机变量 $X_1,X_2,…,X_n$ 相互独立，且都服从标准正态分布，则随机变量 $X=\sum\limits_{i=1}^nX_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $X\sim\chi^2(n)$ 。($X_i^2\sim\chi^2(1)$)

对给定的 $\alpha~(0<\alpha<1)$ ，称满足 $\large P\{\chi^2>\chi^2_\alpha(n)\}=\int_{\chi^2_\alpha(n)}^{+\infty}f(x)dx=\alpha$ 的 $\chi^2_\alpha(n)$ 为 $\chi^2$ 分布的上 $\alpha$ 分位点。

自由度是指和式中独立变量的个数。

某分布上 $\alpha$ 分位点(上侧 $\alpha$ 分位数)为 $\mu_\alpha$ 意指：点 $\mu_\alpha$ 上侧(即右侧)，该概率密度曲线下方，$x$ 轴上方图形面积为 $\alpha$ 。

若随机变量 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ 先将变量标准化 $\frac{X_i-\mu}{\sigma}$ ，则 $\sum\limits_{i=1}^n\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$ 。

性质：

1. 若 $X_1\sim\chi^2(n_1),X_2\sim\chi^2(n_2)$ ，$X_1$ 与 $X_2$ 相互独立，则 $X_1+X_2\sim\chi^2(n_1+n_2)$。( $\chi^2$ 的可加性)

   一般地，若 $X_i\sim\chi^2(n_i)(i=1,2,...m)$， $X_1,X_2,…,X_m$ 相互独立，则 $\sum\limits_{i=1}^mX_i\sim\chi^2(\sum\limits_{i=1}^mn_i)$。

2. 若 $X\sim\chi^2(n)$ ，则 $EX=n,DX=2n$。

$t$ 分布

设随机变量 $X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)$，$X$ 与 $Y$ 相互独立，则随机变量 $\large t=\frac{X}{\sqrt[]{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记为 $t\sim t(n)$。 $t$ 分布的概率密度 $f(x)$ 的图形关于 $x=0$ 对称，因此 $Et=0(n\geq2)$。

性质：由 $t$ 分布的概率密度 $f(x)$ 图形的对称性知 $P\{t>-t_\alpha(n)\}=P\{t>t_{1-\alpha}(n)\}$，故 $t_{1-\alpha(n)}=-t_\alpha(n)$。

$F$ 分布

设随机变量 $X\sim\chi^2(n_1),Y\sim\chi^2(n_2)$，$X$ 与 $Y$ 相互独立，则 $\large F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$ 服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记为 $F\sim F(n_1,n_2)$，其中 $n_1$ 称为第一自由度， $n_2$ 称为第二自由度。

性质：

1. 若 $F\sim F(n_1,n_2)$，则 $\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$；(由 $F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$ 倒数可推)
2. $F_{1-\alpha}(n_1,n_2)=\frac{1}{\large F_\alpha}(n_2,n_1)$；

正态总体下的常用结论

设 $X_1,X_2,…,X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的一个样本，$\bar{X},S^2$ 分别是样本的均值和方差，则

1. $\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，即 $\large\frac{\bar{X}-\mu}{\Large \frac{\sigma}{\sqrt[]{n}}}=\frac{\sqrt[]{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}\sim N(0,1)$；

2. $\large\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2=\sum\limits_{i=1}^n(\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2\sim\chi^2(n)$；

3. $\large\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=1}^n(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma})^2\sim\chi^2(n-1)$；($\mu$ 未知时，在(2)中用 $\bar{X}$ 替代 $\mu$，因为相互纠缠，少了一个自由度)

4. $\bar{X},S^2$ 相互独立，$\large\frac{\sqrt[]{n}(\bar{X}-\mu)}{S}\sim t(n-1)$ ；将(1)中的正态分布与(3)中的 $\chi^2$ 分布分别作为$X,Y$ 按照 $t$ 分布形式写出，整理后得到左结论。($\sigma$ 未知时，在(1)中用 $S$ 替代 $\sigma$)，进一步有

当 $\mu$ 已知时，使用(1)结论；当 $\mu$ 未知时，使用(4)结论。