古典概型

称随机试验 $E$ 的每一个可能结果(不可再分)称为样本点，记为 $\omega$。样本点的全体组成的集合称为样本空间(或基本事件空间)，记为 $\Omega$，即 $\Omega=\{\omega\}$。若 $\Omega$ 中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型，设 $A$ 为 $\Omega$ 的一个子集，则

随机分配也叫随机占位，突出一个“放”字，即将 $n$ 个可辨质点随机地分配到 $N$ 个盒子中，不同分法的总数列表：

设 $\Omega=\{\omega_1，\omega_2,\cdots,\omega_N\}$ 含 $N$ 个元素，称 $\Omega$ 为总体。如果各元素被抽到的可能性相同，自总体 $\Omega$ 的抽样称作简单随机抽样，突出一个“取”字。

“先后无放回取 $n$ 次”与“任取 $n$ 个”的概率相同，有时求“先后无放回取 $n$ 次”的概率时，可以变为求“任取 $n$ 个”的概率。

抓阄模型 (第 $k$ 次发生事件 $\omega$ 的概率)，与先后有放回、先后无放回条件无关，与 $k$ 无关，每次发生事件 $\omega$ 的概率不变。

几何概型

若 $\Omega$ 是一个可度量的几何区域，且样本点落入 $\Omega$ 中的某一可度量子区域 $A$ 的可能性大小与 $A$ 的几何度量成正比，而与 $A$ 的位置与形状无关，称为几何概型。

事件度量为零，此事件概率为零，但此事件不是不可能事件。$A=\empty\Rightarrow P(A)=0$，但反之不能推出。

一维点为零，二维线为零。

重要公式

• 用对立：

  • $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B},\quad \overline{A\cap B}=\bar{A}\cup\bar{B}$
  • $P(A)=1-P(\bar{A})$ (思想方法)

• 用互斥：

  • $A\cup B=A\cup \bar{A}B=B\cup A\bar{B}=A\bar{B}\cup AB\cup \bar{A}B$ (分割互斥)

  • 若 $B_1,B_2,B_3$ 为完备事件组，则 $A=AB_1\cup AB_2\cup AB_3$ (全集分解)

  • $P(A\bar{B})=P(A-B)=P(A)-P(AB)$

  • 加法公式：

    • $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
    • $P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1A_2)-P(A_1A_3)-P(A_2A_3)+P(A_1A_2A_3)$
    • 若 $A_1,A_2,...,A_n$ 两两互斥，则有 $P(\mathop{\cup}\limits_{i=1}^n A_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)$。

• 用独立：若 $A_1,A_2,...,A_n$ 相互独立，则

  • $P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2)...P(A_n)$

• 用条件：

  • $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ ($P(B)>0$)

  • 当 $P(A_1A_2)>0$ 时，$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)$

  • $A_1,A_2,...,A_n$ 为完备事件组，$P(A_i)>0$，则 (全概率公式)

  • 若已知 $B$ 发生了，执果索因，有 (贝叶斯公式)

• 用不等式或包含：

  • $0\leq P(A)\leq1$
  • 若 $A\subseteq B$，则 $P(A)\leq P(B)$
  • 由于 $AB\subseteq A\subseteq A+B$，故 $P(AB)\leq P(A)\leq P(A+B)$

• 用最值：

  • $\{\max\{X,Y\}\leq a\}=\{X\leq a\}\cap\{Y\leq a\}$
  • $\{\max\{X,Y\}> a\}=\{X> a\}\cup\{Y> a\}$
  • $\{\min\{X,Y\}\leq a\}=\{X\leq a\}\cup\{Y\leq a\}$
  • $\{\min\{X,Y\}> a\}=\{X> a\}\cap\{Y> a\}$
  • $\{\max\{X,Y\}\leq a\}\subseteq \{\min\{X,Y\}\leq a\}$
  • $\{\min\{X,Y\}> a\}\subseteq \{\max\{X,Y\}> a\}$

事件的独立性

设 $A,B$ 为两个事件，如果 $P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，简称为 $A$ 与 $B$ 独立。

设 $A_1,A_2,A_3$ 为三个事件，若

则称事件 $A_1,A_2,A_3$ 相互独立。当 $(4)$ 不满足，只满足 $(1-3)$ 的事件 $A_1,A_2,A_3$ 两两独立。

判定：

• $A,B$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},\bar{B}$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $\bar{A},B$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $A,\bar{B}$ 相互独立 (将相互独立的事件组中的任意几个事件换成各自的对立事件，所得到的新事件组仍相互独立) (随意戴帽)
• 对独立事件组不含相同事件作运算，得到的新事件组仍独立，如 $A,B,C,D$ 相互独立，则 $AB$ 与 $CD$ 相互独立，$A$ 与 $BC-D$ 相互独立。
• 若 $P(A)>0$，则 $A,B$ 相互独立 $\Leftrightarrow P(B|A)=P(B)$
• 若 $0<P(A)<1$，则 $A,B$ 相互独立 $\Leftrightarrow P(B|\bar{A})=P(B|A)\Leftrightarrow P(B|A)+P(\bar{B}|\bar{A})=1$
• 若 $P(A)=0$ 或 $P(A)=1$，则 $A$ 与任意事件 $B$ 相互独立。
• 若 $0<P(A)<1,0<P(B)<1$，且 $A$ 与 $B$ 互斥或存在包含关系，则 $A$ 与 $B$ 一定不独立。