$A$ 的相似对角化 ($A\sim\Lambda$)

设 $n$ 阶矩阵 $A$，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵(除主对角线外的元素全为零)，则称 $A$ 可相似对角化，记 $A\sim \Lambda$ ，称 $\Lambda$ 是 $A$ 的相似标准形。

若 $A$ 可相似对角化，即 $P^{-1}AP=\Lambda$，其中 $P$ 可逆，将等式两边同时左乘 $P$ ，有 $AP=P\Lambda$ ，记

则

即

也即

由 $P$ 可逆，则 $\xi_i$ 线性无关，上述过程可逆，于是，$n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化 $\Leftrightarrow A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。据此，可得以下结论：(设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵)

• 充要条件：

  • $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $\Leftrightarrow A\sim\Lambda$

  • $n_i=n-r(\lambda_iE-A)\Leftrightarrow A\sim\Lambda$

    $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重根，故 $n-r(\lambda_iE-A)$ 表示 $(\lambda_iE-A)x=0$ 的解中线性无关的向量个数，也即属于 $\lambda_i$ 的线性无关的特征向量的个数。当 $n_i=n-r(\lambda_iE-A)$ 时，即知 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。常用于求秩。

• 充分条件：

  • $A$ 是实对称矩阵 $\Rightarrow A\sim\Lambda$

    实对称矩阵必有 $n$ 个线性无关的特征向量

  • $A$ 有 $n$ 个互异特征值 $\Rightarrow A\sim\Lambda$

    由于不同特征值对应的特征向量线性无关，故当 $A$ 有 $n$ 个互异特征值时，$A$ 必有 $n$ 个线性无关的特征向量

  • $A^2=A\Rightarrow A\sim\Lambda$

  • $A^2=E\Rightarrow A\sim\Lambda$

  • $r(A)=1$ 且 $tr(A)\neq0\Rightarrow A\sim\Lambda$

• 必要条件：$A\sim\Lambda\Rightarrow r(A)=$ 非零特征值的个数 (重根按重数算)

• 否定条件：

  • $A\neq O,A^k=O$ ($k$ 为大于 $1$ 的整数) $\Rightarrow A$ 不可相似对角化
  • $A$ 的特征值全为 $k$ 但 $A\neq kE\Rightarrow A$ 不可相似对角化

$A$ 相似于 $B$ ($A\sim B$)

设 $A,B$ 是两个 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP=B$ ( $PAP^{-1}=B$ )，则称 $A$ 相似于 $B$ ，记成 $A\sim B$。

若 $A\sim B$ ， $B\sim C$ ，则 $A\sim C$ （传递性）

四个性质：若 $A\sim B$ ，则有：

1. $|A|=|B|$
2. $r(A)=r(B)$
3. $tr(A)=tr(B)$
4. $\lambda_A,\lambda_B$ (或 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$)

若有一个性质不成立，则 $A$ 不相似于 $B$，但即使全成立，也不能得出 $A\sim B$，举例 $A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$。常用于求参数。

重要结论：

• $A\sim B\Rightarrow A^T\sim B^T,A^{-1}\sim B^{-1},A^*\sim B^*$ (后面两个要求 $A$ 可逆)
• $A\sim B\Rightarrow A^m\sim B^m,f(A)\sim f(B)$
• $A\sim B,B\sim \Lambda\Rightarrow A\sim\Lambda$
• $A\sim \Lambda,B\sim \Lambda\Rightarrow A\sim B$
• $A\sim C,B\sim D\Rightarrow \begin{bmatrix}A&O\\O&B\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}C&O\\O&D\end{bmatrix}$

实对称矩阵与正交矩阵

若 $A$ 为实对称矩阵，则：

• 特征值均为实数，特征向量均为实向量。
• 不同特征值对应的特征向量正交。(即 $\lambda_1\neq\lambda_2\Rightarrow\xi_1\bot\xi_2\Rightarrow(\xi_1,\xi_2)=0$ 建方程)
• 可用正交矩阵相似对角化。(即存在正交矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$)

若 $A$ 为正交矩阵，则：

若 $A,B$ 为同阶正交矩阵，则 $AB$ 为正交矩阵。($A+B$ 不一定)