具体型方程组

解线性方程组

齐次线性方程组：

记

则齐次线性方程组 $(1)$ 可写成矩阵方程

如果 $x_1=\lambda_1,x_2=\lambda_2,\cdots,x_n=\lambda_n$ 为齐次线性方程组 $(1)$ 的解，则

称为方程组 $(1)$ 的解向量，它就是矩阵方程 $(2)$ 的解。解向量有如下性质：

• 若 $\xi_1,\xi_2$ 是 $(2)$ 的解，则 $x=\xi_1+\xi_2$ 也是 $(2)$ 的解。
• 若 $x=\xi$ 是 $(2)$ 的解，$k\in R$，则 $x=k\xi$ 也是 $(2)$ 的解。

设 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{s}$ 是方程组 $(1)$ 的一组解向量，如果：$\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{s}$ 线性无关；方程组 $(1)$ 的任一解向量均可由 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{s}$ 线性表示，即 $s=n-r(A)$。则称 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{s}$ 是方程组 $(1)$ 的一个基础解系。

基础解系应满足三点：是解；线性无关；$s=n-r(A)$

齐次线性方程组 $(1)$ 有非零解的充要条件是 $r(A)<n$，此时它的通解为

其中 $r=r(A),k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数，$\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$ 为方程组 $(1)$ 的一个基础解系。

非齐次线性方程组：

克拉默法则：若线性方程组

的系数行列式 $D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0$ ，则该方程组有唯一解

其中 $D_j~(j=1,2,\cdots,n)$ 是将 $D$ 中第 $j$ 列元素换成 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 所构成的行列式。

当 $b_i=0~(i=1,2,\cdots,n)$ 时，如果 $D\neq0$，则方程组 $(3)$ 只有零解 $x_i=0~(i=1,2,\cdots,n)$。反之，当 $b_i=0~(i=1,2,\cdots,n)$ 时，如果方程组 $(3)$ 有非零解，则 $D=0$。

记

则非齐次线性方程组

可写成矩阵方程

及

以下 $4$ 种说法是等价的：

• 方程组 $(4)$ 有解
• 向量 $b$ 能由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 线性表示
• 向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 与向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b$ 等价
• 方程组 $(4)$ 的系数矩阵 $A=[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n]$ 与其增广矩阵 $[A,b]=[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b]$ 的秩相等

非齐次线性方程组 $(4)$ 有解的充要条件是 $r(A)=r([A,b])$

• 若 $r(A)=r([A,b])=n$ (即 $α_1,α_2,…,α_n$ 线性无关， $α_1,α_2,…,α_n,b$ 线性相关)，则方程组 $(4)$ 有唯一解。向量 $b$ 能由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 线性表示，且表达式是唯一的；
• 若 $r(A)=r([A,b])=r<n$ ，则方程组 $(4)$ 有无穷多解，向量 $b$ 能由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 线性表示，但表达式不唯一；

如果 $x_1=\lambda_1,x_2=\lambda_2,\cdots,x_n=\lambda_n$ 为方程组 $(4)$ 的解，则

称为方程组 $(4)$ 的解向量，它就是矩阵方程 $(5)$ 的解。若 $x=\eta_1,x=\eta_2$ 都是方程 $(5)$ 的解，则 $x=\eta_1-\eta_2$ 是相应的齐次线性方程组 $(2)$ 的解。

若 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$ 为方程 $(5)$ 相应的齐次线性方程组 $(2)$ 的基础解析，$\eta^*$ 为方程 $(5)$ 的某一个特解，则方程 $(5)$ 的通解为

其中 $r=r(A),k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数。

解含参数的线性方程组

• 将系数矩阵(齐次方程组) 或增广矩阵(非齐次方程组) 先用初等行变换化为阶梯形，再用方程组理论判别、求解。

  若不能化成(或很难化成) 阶梯形，只要所得矩阵对应的方程组与原方程组同解又易于求解，不化成阶梯形也罢。

• “方形”(方程个数$=$未知数个数) 的方程组：

  • $|A|≠0\Leftrightarrow$ 方程组有唯一解 $\Leftrightarrow\lambda$ 不是 $f(\lambda)$ 的零点。此时可用克拉默法则求解
  • $|A|=0\Leftrightarrow\lambda$ 是 $f(\lambda)$ 的零点，得出这些零点 $\lambda_0$ 后，逐个代入方程组，再求解
  • 注意这个知识点的变体形式：含参数的向量之间的关系

求解两个方程组的公共解和同解问题

• 求两个方程组的公共解

  1. 齐次线性方程组 $A_{m\times n}x=0$ 和 $B_{m\times n}x=0$ 的公共解是满足方程组 $\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}x=0$ 的解，即联立求解。同理可求 $Ax=\alpha$ 和 $Ax=\beta$ 的公共解。

  2. 求出 $A_{m\times n}x=0$ 的通解 $k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_{s}\xi_{s}$ ，代入 $B_{m\times n}x=0$ ，求出 $k_i(i=1,2,...,s)$ 之间的关系，代回 $Ax=0$ 的通解，即得公共解。

  3. 若给出 $A_{m\times n}x=0$ 的基础解系 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{s}$ 与 $B_{m\times n}x=0$ 的基础解系 $\eta_1,\eta_2,\dots,\eta_{t}$ ，则公共解

     解此式，求出 $k_i$(代回 $\xi_i$) 或 $l_j$(代回 $\eta_j$)，即可写出 $\gamma$。

• 同解方程组：若两个方程组 $A_{m\times n}x=0$ 和 $B_{s\times n}x=0$ 有完全相同的解，则称为同解方程组，于是

抽象型方程组

解的判定：

1. $Ax=0$：总有解，至少有零解

2. $A_{m\times n}x=0$：

   1. $r(A)=n$：只有零解
   2. $r(A)<n$，有无穷多解

3. $A_{m\times n}x=b$：

   1. $r(A)\neq r([A,b])$，无解
   2. $r(A)=r([A,b])=n$，有唯一解
   3. $r(A)=r([A,b])=r<n$，有无穷多解

基础解系：

• 是否为基础解系：是解；线性无关；$s=n-r(A)$
• 用基础解系表示解

解的结构：

• 齐次线性方程组 $Ax=0$ 有基础解系 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$，则通解为

  其中 $r=r(A),k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数。

• 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有特解 $\eta$，对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 有基础解析 $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}$，则 $Ax=b$ 的通解为

  其中 $r=r(A),k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数。

解与系数的关系：若齐次线性方程组

有解 $\beta=[b_1,b_2,\cdots,b_n]^T$，即

记 $\alpha_i=[a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}]~(i=1,2,\cdots,m)$，上式即为

故系数矩阵 $A$ 的行向量与 $Ax=0$ 的解向量正交，将式(*)两边转置，得 $β^Tα^T_i=0$，即将解向量的转置作为齐次线性方程组的行向量时，$A$ 的行向量的转置即是该方程组的解向量。

$A$ 的行向量与 $Ax=0$ 的解向量可以进行“角色互换”。

线性方程组的几何意义(数一)

设线性方程组

且 $\Pi_i$ 表示第 $i$ 张平面：$a_ix+b_iy+c_iz=d_i$，$\alpha_i$ 表示第 $i$ 张平面的法向量 $[a_i,b_i,c_i]$ 即 $A$ 的行向量，$\beta_i$ 表示 $[a_i,b_i,c_i,d_i]$ 即 $\bar{A}$ 的行向量，于是可按不同情形列表如下：

• 方程组有解的情形：

  图形	几何意义	代数表达
  	三张平面相交于一点	$r(A)=r(\bar{A})=3$
  	三张平面相交于一条直线	$r(A)=r(\bar{A})=2$ 且 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 中任意两个向量都线性无关
  	两张平面重合， 第三张平面与之相交	$r(A)=r(\bar{A})=2$ 且 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 中有两个向量线性相关
  	三张平面重合	$r(A)=r(\bar{A})=1$

• 方程组无解的情形：

  图形	几何意义	代数表达
  	三张平面两两相交， 且交线相互平行	$r(A)=2,r(\bar{A})=3$ 且 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 中任意两个向量都线性无关
  	两张平面平行， 第三张平面与之相交	$r(A)=2,r(\bar{A})=3$ 且 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 中有两个向量线性相关
  	三张平面相互平行但不重合	$r(A)=1,r(\bar{A})=2$ 且 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 中任意两个向量都线性无关
  	两张平面重合， 第三张平面与它们平行但不重合	$r(A)=1,r(\bar{A})=2$ 且 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 中有两个向量线性相关