数列极限的定义：$\Large\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exist N>0$，当 $\large n>N$ 时，有 $\Large|x_n-A|<\varepsilon$。

数列极限的使用：(在极限存在的条件下)

• (是常数) $A$ 是一个常数，常记 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$。

• (唯一性) $A$ 唯一

• (有界性) $\{x_n\}$ 有界，即 $\exist M>0$，使 $|x_n|\leq M$。

• (保号性) 若 $A>0$，则 $n\to\infty$ 时，$x_n>0$ (严格不等号)；

  若 $n\to\infty$ 时，$x_n\geq0$，则 $A\geq0$ (非严格不等号)。

• (收敛的充要条件) 所有子列 $\{x_{n_k}\}$ 均收敛于 $A$。

数列极限的存在性与计算：

• 归结原则的使用 (变量连续化)：若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，则当 $\{x_n\}$ 以 $x_0$ 为极限时 ($x_n\neq x_0$)，有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$。常考：

  • 当 $x\to0$ 时，取 $x_n=\frac{1}{n}$，即若 $\lim\limits_{x\to0}f(x)=A$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}f(\frac{1}{n})=A$。
  • 当 $x_n\to a$ 时，若 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$。

• 直接计算法

• 定义法 (先斩后奏)：构造 $|x_n-a|$，证 $|x_n-a|\to0~(n\to\infty)\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。(先默认极限存在，直接计算，得出极限后用定义法证明)

• 单调有界准则：若 $\{x_n\}$ 单调增加(减少) 且有上界(下界)，则 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$ (存在)。

  • 证明单调：$x_{n+1}$ 与 $x_n$ 的大小关系；证明有界：$\exist M>0$，$|x_n|\leq M$。

  • 证明方法：

    • 用已知不等式：
    • 题设给出条件来推证。

  • 一般情况下，遇见递归形式的数列，要考虑使用单调有界准则。

• 夹逼准则：$y_n\leq x_n\leq z_n$ (不验证等号)；$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a$，$\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。$a$ 可为 $0,c(c\neq0),\infty$ (同号)

  • 证明夹逼：对 $x_n$ 放缩，得到 $y_n\leq x_n\leq z_n$；然后取极限。

  • 证明方法：

    • 基本放缩法

    • 题设给出条件来推证。