定义、性质与定理

定义：$n$ 阶行列式 $D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ 是由 $n$ 个 $n$ 维向量组成的，其(运算规则的) 结果为以这 $n$ 个向量为邻边的 $n$ 维图形的体积。若结果为 $0$，称线性相关；结果不为 $0$，称线性无关。

性质：

1. 行列互换，其值不变，即 $|A|=|A^T|$

2. 行列式中某行 (列) 元素全为零，则行列式为零

3. 行列式中的两行 (列) 元素相等或对应成比例，则行列式为零

4. 单行(列)可拆性。行列式中某行 (列) 元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即

   $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+b_{i1}&a_{i2}+b_{i2}&···&a_{in}+b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&···&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\b_{i1}&b_{i2}&···&b_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn}\end{vmatrix}$

5. “互换”性质。行列式中两行 (列) 互换，行列式的值反号

6. 从右到左的运算为“倍乘”性质。行列式中某行 (列) 元素有公因子 $k(k≠0)$ ，则 $k$ 可提到行列式外面，即

   $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&···&ka_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&···&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&···&a_{nn}\end{vmatrix}$

7. “倍加”性质。行列式中某行 (列) 的 $k$ 倍加到另一行 (列)，行列式的值不变

行列式的展开定理：

1. 余子式

   在 $n$ 阶行列式中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ ，即

2. 代数余子式

   余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ ，即

3. 行列式按某一行 (列) 展开的展开公式

   行列式的值等于行列式的某行 (列) 元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即

   但行列式的某行 (列) 元素分别乘另一行 (列) 元素的代数余子式后再求和，结果为零，即

具体型行列式的计算

化为“ $12+1$ ”型行列式：

1. 主对角线行列式 (上(下)三角形行列式)

2. 副对角线行列式

3. 拉普拉斯展开式

   设 $A$ 为 $m$ 阶矩阵，$B$ 为 $n$ 阶矩阵，则

4. 范德蒙德行列式(所有大下标减小下标的连乘)

若所给行列式就是基本形或接近基本形，直接套公式或经过简单处理化成基本形后套公式。简单处理的手段：

1. 按零元素多的行或列展开；
2. 用行列式性质对差别最小的 “对应位置元素“ 进行处理，尽可能多地化出零元素，再桉此行或列展开；
3. 对于行和或列和相等的情形，将所有列加到第 $1$ 列或将所有行加到第 $1$ 行，提出公因式，再用方法 $2$。

加边法：对于某些一开始不易使用“互换”"倍乘”“倍加”性质的行列式，可以考虑使用加边法：$n$ 阶行列式中添加一行、一列升至 $n+1$ 阶行列式。若添加在第 $1$ 列，且添加的是 $[1,0,\cdots,0]^T$，则第 $1$ 行其余元素可以任意添加，行列式值不变，即

其中 $*$ 处元素可以任意添加。观察原行列式元素的规律性，选择合适的元素填入 $*$ 处，使行列式的计算更为简便。

递推法(高阶→低阶)：

• 建立递推公式，即建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$ 的关系，有些复杂的题甚至要建立 $D_n,D_{n-1}$ 与 $D_{n-2}$ 的关系
• $D_{n-1}$ 与 $D_{n}$ 要有完全相同的元素分布规律，只是 $D_{n-1}$ 比 $D_{n}$ 低了一阶

数学归纳法(低阶→高阶)：涉及 $n$ 阶行列式的证明型计算问题，可考虑数学归纳法。

• 第一数学归纳法：(适用于 $D_n$ 与 $D_{n-1}$ 的规律)

  1. 验证 $n=1$ 时，命题成立；
  2. 假设 $n=k$ 时，命题成立；
  3. 证明 $n=k+1$ 时，命题成立。

  则命题对任意正整数 $n$ 成立。

• 第二数学归纳法：(适用于 $D_n$ 与 $D_{n-1},D_{n-2}$ 的规律)

  1. 验证 $n=1$ 和 $n=2$ 时，命题成立；
  2. 假设 $n<k$ 时，命题成立；
  3. 证明 $n=k$ 时，命题成立。

  则命题对任意正整数 $n$ 成立。

抽象型行列式的计算

• 用行列式性质：将所求行列式进一步化成已知行列式。

• 用矩阵知识：前提需要学习矩阵运算

  • 设 $C=AB$，$A,B$ 为同阶方阵，则 $|C|=|AB|=|A||B|$。
  • 设 $C=A+B$，$A,B$ 为同阶方阵，则 $|C|=|A＋B|$，作恒等变形，转化为矩阵乘积的行列式。
  • 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $|A^*|=|A|^{n-1}$，$|(A^*)^*|=||A|^{n-2}A|=|A|^{(n-1)^2}$。

• 用相似理论：前提需要学习相似理论

  • $|A|=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_{i}$
  • 若 $A$ 相似于 $B$，则 $|A|=|B|$。

余子式和代数余子式的计算

• 用行列式：由

  则

  其中 $*$ 处表示元素不变，上面两个行列式的区别仅仅在于第 $i$ 行的元素的改变，这样，给出不同的系数 $k_i$，即得到了不同的行列式。而若要求 $k_{1}M_{i1}+k_{2}M_{i2}+···+k_{n}M_{in}$ ，只需用 $M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}$ 化为关于 $A_{ij}$ 的线性组合即可。余不变，$a_{ij}$ 变。

• 用矩阵：前提需要学习矩阵运算。当 $|A|\neq0$ 时，$A^*=|A|A^{-1}$。由于 $A^*$ 由 $A_{ij}$ 组成，用左式求出 $A^*$，即得到所有的 $A_{ij}$。但要注意，此方法要求 $|A|\neq0$。

  若 $a_{ij}=A_{ij}\Leftrightarrow A^*=A^T$；若 $a_{ij}=-A_{ij}\Leftrightarrow A^*=-A^T$；

• 用特征值：前提需要学习特征值。设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，当 $A$ 为可逆矩阵时，记其特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，则 $A^{-1}$ 的特征值为 $\lambda_1^{-1},\lambda_2^{-1},\lambda_3^{-1}$，且由 $A^*=|A|A^{-1}=\lambda_1\lambda_2\lambda_3A^{-1}$，可知 $A^*$ 的特征值为

  故由

  知 $A_{11}+A_{22}+A_{33}=tr(A^*)=\lambda^*_1+\lambda^*_2+\lambda^*_3=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2$

• 求余子式的问题：由于 $M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}$，故先求出 $A_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 即可。