祖孙三代的奇偶性、周期性：默认 $f(x)$ 满足可导或可积的条件

• $f(x)$ 为奇函数 $\Rightarrow f'(x)$ 为偶函数；$f(x)$ 为偶函数 $\Rightarrow f'(x)$ 为奇函数。
• $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数 $\Rightarrow f'(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。
• $f(x)$ 为奇函数 $\Rightarrow \large\int_a^xf(t)dt$ 为偶函数；$f(x)$ 为偶函数 $\Rightarrow \int_0^xf(t)dt$ 为奇函数、$\int_a^xf(t)dt~(a\neq0)$ 不确定。
• $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，且 $\int_0^Tf(x)dx=0~\Rightarrow~\large\int_a^xf(t)dt$ 是以 $T$ 为周期的周期函数。
• $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数 $\Rightarrow \large\int_0^Tf(x)dx=\int_a^{a+T}f(x)dx$，任意常数 $a$。

积分比大小：

• 用几何意义：

• 用保号性：

  • 看出正负，如 $|x|\geq0$；当 $x\in[\pi,2\pi]$ 时，$\sin x\leq0$ 等。
  • 作差，$I_1-I_2$，再换元 (常用 $x=\pi\pm t,x=\frac{\pi}{2}\pm t$ )。

定积分定义：有一类数列和的极限计算，可用定积分定义来处理

• 基本形 (能凑成 $\Large\frac{i}{n}$ )：若数列通项中含下面四种形式，则能够凑成 $\Large\frac{i}{n}$

  • $n+i~(an+bi,ab\neq0) \Rightarrow n+i=n(1+\frac{i}{n})$
  • $n^2+i^2 \Rightarrow n^2+i^2=n^2[1+(\frac{i}{n})^2]$
  • $n^2+ni \Rightarrow n^2+ni=n^2(1+\frac{i}{n})$
  • $\frac{i}{n}$

  于是可直接写定积分定义

• 放缩形 (凑不成 $\Large\frac{i}{n}$)：

  • 夹逼准则：如通项中含 $n^2+i$，则凑不成 $\Large\frac{i}{n}$，这时考虑对通项放缩，用夹逼准则。
  • 放缩后再凑 $\Large\frac{i}{n}$：如通项中含 $\large\frac{i^2+1}{n^2}$，虽凑不成 $\Large\frac{i}{n}$，但放缩如下：$\large(\frac{i}{n})^2<\frac{i^2+1}{n^2}<(\frac{i+1}{n})^2$，则可凑成 $\Large\frac{i}{n}$。

• 变量形：若通项中含 $\large\frac{x}{n}i$，则考虑下面的式子：

反常积分的判敛：(极限比阶问题)

• 概念：$\large\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 叫无穷区间上的反常积分；$\large\int_a^bf(x)dx$，其中 $\large\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\infty$，$a$ 叫瑕点，此积分叫无界函数的反常积分。

• 判别：判别时要求每个积分有且仅有一个奇点 (无穷区间上的反常积分的 $\pm\infty$，无界函数的反常积分的瑕点)，尺度为

  若有多个奇点，将其拆分为每个只有一个奇点的反常积分。都收敛时收敛，否则发散。