几何应用

研究对象：

• 祖孙三代：

  • $f(x)\begin{cases}具体\\抽象\\f_n(x)(函数族)\\f_1\cdot f_2\cdot\cdots\cdot f_n\end{cases}$
  • $\large f'(x),\frac{df(x)}{d(x^2)},f^{(n)}(x)$
  • $\int_a^xf(t)dt$
  • $\sum a_nx^n$

• 分段函数(含绝对值)

• 参数方程 $\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}\begin{cases}x=r(\theta)\cos\theta\\y=r(\theta)\sin\theta\end{cases}$

• 隐函数 $F(x,y)=0$

切线、法线、截距：设 $y=y(x)$ 可导且 $y'(x)\neq0$，则曲线 $y=y(x)$ 在 $(x,y)$ 处的

• 切线斜率为 $\large k=y'(x)$
• 法线斜率为 $u=\large-\frac{1}{k}=-\frac{1}{y'(x)}$
• 切线方程为 $Y-y=y'(x)(X-x)$
• 法线方程为 $Y-y=-\frac{1}{\large y'(x)}(X-x)$
• 令 $X=0$，则切线在 $y$ 轴上的截距为 $y-xy'(x)$，法线在 $y$ 轴上的截距为 $y+\large\frac{x}{y'(x)}$；
• 令 $Y=0$，则切线在 $x$ 轴上的截距为 $x-\large\frac{y}{y'(x)}$，法线在 $x$ 轴上的截距为 $x+yy'(x)$。(截距不是距离，截距可正可负)

极值、单调性：对于函数 $f(x)$，若存在点 $x_0$ 的某个邻域，使得在该邻域内任意一点 $x$ 均有 $\large f(x)\leq f(x_0)$ 或 $\large f(x)\geq f(x_0)$ 成立，则称点 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点或极小值点，$f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的极大值或极小值。

极值点只可能在导数为 $0$ 或导数不存在的点，但这些点不一定是极值点

• 单调性的判别：若 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有 $f'(x)>0$，则 $y=f(x)$ 在 $I$ 上严格单调增加；相应地，若 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上有 $f'(x)<0$，则 $y=f(x)$ 在 $I$ 上严格单调减少。

• 一阶可导点是极值点的必要条件：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，且在点 $x_0$ 处取得极值，则必有 $f'(x_0)=0$。(费马定理)

• 判别极值的第一充分条件：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $U(x_0,\delta)$ 内可导，

  • 若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$f'(x)<0$，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值。
  • 若 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 时，$f'(x)>0$，而 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 时，$f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值。
  • 若 $x$ 在 $(x_0-\delta,x_0)$ 和 $(x_0,x_0+\delta)$ 内不变号，则点 $x_0$ 不是极值点。

• 判别极值的第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0)=0,f''(x_0)\neq0$，

  • 若 $f''(x_0)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。
  • 若 $f''(x_0)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

• 判别极值的第三充分条件：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,\cdots,n-1),f^{(n)}(x_0)\neq0(n\geq2)$，则

  • 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。
  • 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

拐点、凹凸性：设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$，恒有 $\large f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有 $\large f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是(向上)凸的(或凸弧)；连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。

判断凹凸性时，并非一定要使用 $\large f(\frac{x_1+x_2}{2})<(>)\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，只需要满足 $f(\lambda_1 x_1+\lambda_2x_2)<(>)\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)$。($0<\lambda<1,\lambda_1+\lambda_2=1$)

拐点为一个点 $(x_0,f(x_0))$，不能只写成 $x_0$，必须加上因变量。

• 判别凹凸性的充分条件：设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导，若在 $I$ 上 $f''(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的；若在 $I$ 上 $f''(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的。

• 二阶可导点是拐点的必要条件：设 $f''(x_0)$ 存在，且点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线上的拐点，则 $f''(x_0)=0$。

• 判别拐点的第一充分条件：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域 $U(x_0,\delta)$ 内二阶导数存在，且在该点的左右邻域内 $f''(x)$ 变号，则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线上的拐点。

  $(x_0,f(x_0))$ 为拐点时，并不要求 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数存在。

• 判别拐点的第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内三阶可导，且 $f''(x_0)=0,f'''(x_0)\neq0$，$(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

• 判别拐点的第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=2,\cdots,n-1),f^{(n)}(x_0)\neq0(n\geq3)$，则当 $n$ 为奇数时，$(x_0,f(x_0))$ 为拐点。

渐近线：

• 铅垂渐近线：若 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$，则 $x=x_0$ 为一条铅垂渐近线。($x_0$ 一般是函数的无定义点)

• 水平渐近线：(若定义域有 $+\infty,-\infty$ 均要考查)

  若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=y_1$，则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线；

  若 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=y_2$，则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线；

  若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=y_0$，则 $y=y_0$ 为一条水平渐近线；

• 斜渐近线：(在水平渐近线的任意一个 $y=y_0$ 取无穷大时(不存在)，考查斜渐近线)

  若 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1\neq0$，$\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-k_1x]=b_1$，则 $y=k_1x+b_1$ 是曲线 $y=f(x)$ 一条斜渐近线；

  若 $\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2\neq0$，$\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-k_2x]=b_2$，则 $y=k_2x+b_2$ 是曲线 $y=f(x)$ 一条斜渐近线；

  若 $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k\neq0$，$\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=b$，则 $y=kx+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 一条斜渐近线；

最值(值域)：

• 求闭区间 $[a,b]$ 上连续函数 $f(x)$ 的最大值 $M$ 和最小值 $m$：

  1. 求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的可疑点：驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值；
  2. 求出端点的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$；
  3. 比较以上所求得的所有函数值。

• 求开区间 $(a,b)$ 内连续函数 $f(x)$ 的最值或者取值范围：(有时没有最值，就求取值范围)

  1. 求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的可疑点：驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值；
  2. 求 $(a,b)$ 两端的单侧极限：若 $a,b$ 为有限常数，则求 $\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$ 与 $\lim\limits_{x\to b^-}f(x)$；若 $a$ 为 $-\infty$，则求 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$；若 $b$ 为 $+\infty$，则求 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$，记以上所求左端极限为 $A$，右端极限为 $B$；
  3. 比较步骤 $1,2$ 所得结果，确定最值或取值范围。

曲率和曲率半径：曲率 $k=\Large\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}$，曲率半径 $R=\large\frac{1}{k}$。

1. 求一阶导数；
2. 求二阶导数；
3. 套公式。

相关变化率：题设告知 $\frac{dA}{dC},\frac{dC}{dB}$，欲求 $\frac{dA}{dB}$，则 $\frac{dA}{dB}=\frac{dA}{dC}\cdot\frac{dC}{dB}$。

中值定理、微分等式

中值定理

中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则

• 有界与最值定理：$m\leq f(x)\leq M$，其中 $m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值。

• 介值定理：当 $m\leq\mu\leq M$ 时，存在 $\xi\in[a,b]$，使得 $f(\xi)=\mu$。

• 平均值定理：当 $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 上至少存在一点 $\xi$，使 $f(\xi)=\Large\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$。

• 零点定理：当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $f(\xi)=0$。

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• 费马定理：设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导并取极值，则 $f'(x_0)=0$。

• 罗尔定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、$(a,b)$ 内可导、$f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $f'(\xi)=0$。

• 拉格朗日中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、$(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

• 柯西中值定理：设 $f(x),g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续、$(a,b)$ 内可导、$g'(x)\neq0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得 $\Large\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。

• 泰勒公式：

  • 带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式：设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内 $n+1$ 阶导数存在，则对该邻域内的任一点 $x$，有：($\xi$ 介于 $x,x_0$ 之间)

  • 带佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式：设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域中的任一点 $x$，有：

• 积分中值定理：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续则存在 $\xi\in[a,b]$ ($\xi\in(a,b)$ 均可)，使得 $\large\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$。

解题方法：

1. 确定区间：在数轴上标出所有可能用到的点，确定区间。

2. 确定辅助函数：简单情形下，题设 $f(x)$ 即为辅助函数 (研究对象)。复杂情形下：

   • 乘积求导公式 $(uv)'=u'v+uv'$ 的逆用：

     • $\large[f(x)f(x)]'=[f^2(x)]'=2f(x)\cdot f'(x)$：见到 $f(x)\cdot f'(x)$，令 $F(x)=f^2(x)$。

     • $\large[f(x)f'(x)]'=[f'(x)]^2+f(x)\cdot f''(x)$：见到 $[f'(x)]^2+f(x)\cdot f''(x)$，令 $F(x)=f(x)f'(x)$。

     • $\large[f(x)e^{\varphi (x)}]'=f'(x)e^{\varphi (x)}+f(x)e^{\varphi (x)}\cdot \varphi'(x)=[f'(x)+f(x)\varphi'(x)]e^{\varphi (x)}$：见到 $f'(x)+f(x)\varphi'(x)$，令 $F(x)=f(x)e^{\varphi (x)}$。

       常考以下情形：

       • $\varphi(x)=x\Rightarrow$ 见到 $f'(x)+f(x)$，令 $F(x)=f(x)e^x$。
       • $\varphi(x)=-x\Rightarrow$ 见到 $f'(x)-f(x)$，令 $F(x)=f(x)e^{-x}$。
       • $\varphi(x)=kx\Rightarrow$ 见到 $f'(x)+kf(x)$，令 $F(x)=f(x)e^{kx}$。

   • 商的求导公式 $\Large(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 的逆用：

     • $\Large(\frac{f(x)}{x})'=\frac{f'(x)x-f(x)}{x^2}$：见到 $f'(x)x-f(x)$，$x\neq0$，令 $F(x)=\frac{f(x)}{x}$。

     • $\Large[\frac{f'(x)}{f(x)}]'=\frac{f''(x)f(x)-[f'(x)]^2}{f^2(x)}$：见到 $f''(x)f(x)-[f'(x)]^2$，$f(x)\neq0$，令 $F(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$。

       又 $[\ln f(x)]'=\frac{f'(x)}{f(x)}$，上式为 $[\ln f(x)]''$。

   • 见到 $\int_a^bf(x)dx$，可令 $F(x)=\int_a^xf(t)dt$。

   • 题设给出"$F(x)$"或"$F(a)$"，也可以作为提示，令 $F(x)$ 为辅助函数。

3. 确定使用的定理：

   • 零点定理：常用于找 $f(c)=0$ (由 $f(a)>0,f(b)<0$，则 $f(c)=0$)

   • 介值定理：常用于找 $f(c)=\mu$ (由 $f(a)=A,f(b)=B,A<\mu<B$，则 $f(c)=\mu$)

   • 费马定理：常用于证 $f'(\xi)=0$ ($\xi$ 为可导的极值点)

   • 罗尔定理：常用于证 $F'(\xi)=0$ 或 $F^{(n)}(\xi)=0,n\geq2$

   • 拉格朗日中值定理：常用于

     • 题设中有 $f$ 与 $f'$ 的关系或"$f(b)-f(a)$"
     • 证 $F'(\xi)>(<)0$
     • 证 $F^{(n)}(\xi)>(<)0,n\geq2$
     • 证 $F(f'(\eta),f'(\tau))=0$
     • $f'(x)$ 可考到单调性

   • 泰勒公式：常用于

     • 题设中有 $f$ 与 $f^{(n)},n\geq2$ 的关系
     • 证 $F^{(n)}(\xi)>(<或=)0,n\geq2$
     • $f''(x)$ 可考到凹凸性

   • 柯西中值定理：常用于

     • 两个具体函数所满足的式子
     • 一个具体函数与一个抽象函数所满足的式子
     • 与拉格朗日中值定理综合