三重积分

对称性：

• 普通对称性：假设 $\Omega$ 关于 $yOz$ 面对称，则

  其中 $\Omega_1$ 是 $\Omega$ 在 $yOz$ 面前面的部分。关于其他坐标面对称的情况与此类似。

• 轮换对称性：若把 $x$ 与 $y$ 对调后，$\Omega$ 不变，则 $\large\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dv=\iiint\limits_{\Omega}f(y,x,z)dv$，这就是轮换对称性。关于其他情况与此类似。

计算：

• 直角坐标系：

  • 先一后二法（先 $z$ 后 $xy$ 法，也叫投影穿线法）适用于 $\Omega$ 有下曲面 $z=z_1(x,y)$、上曲面 $z=z_2(x,y)$，无侧面或侧面为柱面的情况，计算方法

    后积先定限，限内画条线，先交下曲面，后交上曲面。

  • 先二后一法（先 $xy$ 后 $z$ 法，也叫定限截面法）适用于 $\Omega$ 是旋转体，其旋转曲面方程为 $\sum$：$z=z(x,y)$，计算方法：

    后积先定限，限内截个面。

    区域绕着哪个轴转，哪个字母不变，另一个字母写成剩下两个字母平方和的开根号。

• 柱面坐标系＝极坐标下二重积分与定积分：在直角坐标系的先一后二法中 ，若 $\iint\limits_{D_{xy}}d\sigma$ 也适用于极坐标系，则令 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$，便有

• 球面坐标系：当被积函数中含有 $f(x^2+y^2+z^2)$ 或 $f(x^2+y^2)$ ，且积分区域为球(或球的部分)、锥(或锥的部分)时使用。令$\large\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\y=r\sin\varphi\sin\theta\\z=r\cos\varphi\end{cases}$，用三族面将空间 $\Omega$ 切分成一个一个的微元体，其中

  • $\theta=\theta_0$(常数)，为过 $z$ 轴的半平面，其与 $xOz$ 面正向夹角为 $\theta_0,0\leq\theta_0\leq2\pi$；
  • $\varphi=\varphi_0$(常数)，为以 $z$ 轴为中心轴的圆锥面，其顶点为原点，半顶角为 $\varphi_0,0\leq\varphi_0\leq\pi$；
  • $r=r_0$(常数)，为球心在原点的球面，其半径为 $r_0,0\leq r_0<+\infty$

  定限方法：

  • 从原点出发画一条半射线 (取值范围 $(0,+\infty)$)，先碰到 $\Omega$ 记为 $r_1(\varphi,\theta)$，后离开 $\Omega$ 记为 $r_2(\varphi,\theta)$；
  • 顶点在原点，以 $z$ 轴为中心轴的圆锥面半顶角 (取值范围 $[0,\pi]$)，先碰到 $\Omega$ 记为 $\varphi_1(\theta)$，后离开 $\Omega$ 记为 $\varphi_2(\theta)$；
  • 过 $z$ 轴的半平面与 $xOz$ 面正向夹角 (取值范围 $[0,2\pi]$)，先碰到 $\Omega$ 记为 $\theta_1$，后离开 $\Omega$ 记为 $\theta_2$；

• 换元法：若 $x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)$ 有一阶连续偏导数，则

  $\begin{vmatrix}\frac{\part x}{\part u}&\frac{\part x}{\part v}&\frac{\part x}{\part w}\\\frac{\part y}{\part u}&\frac{\part y}{\part v}&\frac{\part y}{\part w}\\\frac{\part z}{\part u}&\frac{\part z}{\part v}&\frac{\part z}{\part w}\end{vmatrix}$ 不能为 $0$。

应用：

• 体积：$\large V=\iiint\limits_{\Omega}dv$

• 总质量：$m=\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,y,z)dv$

• 重心：$\large\bar{x}=\frac{\iiint\limits_{\Omega}x\rho(x,y,z)dv}{\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,y,z)dv},\bar{y}=\frac{\iiint\limits_{\Omega}y\rho(x,y,z)dv}{\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,y,z)dv},\bar{z}=\frac{\iiint\limits_{\Omega}z\rho(x,y,z)dv}{\iiint\limits_{\Omega}\rho(x,y,z)dv}$

• 转动惯量：$I_x=\iiint\limits_{\Omega}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv,I_y=\iiint\limits_{\Omega}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)dv,I_z=\iiint\limits_{\Omega}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)dv,I_O=\iiint\limits_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv$

• 引力：对于空间物体 $\Omega$，其体积密度为 $\rho(x,y,z)$，则该物体对物体外一点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的质量为 $m$ 的质点的引力 $(F_x,F_y,F_z)$ 的计算公式为：

第一型曲线积分

一、二型线面积分均可将边界方程代入。

对称性：

• 普通对称性：假设 $\Gamma$ 关于 $yOz$ 面对称，则

  其中 $\Gamma_1$ 是 $\Gamma$ 在 $yOz$ 面前面的部分。关于其他坐标面对称的情况与此类似。

• 轮换对称性：若把 $x$ 与 $y$ 对调后，$\Gamma$ 不变，则 $\large\int_{\Gamma}f(x,y,z)dv=\int_{\Gamma}f(y,x,z)dv$，这就是轮换对称性。关于其他情况与此类似。

计算：一投二代三计算 (化为定积分)

• $L$ 为 $y=y(x),a\leq x\leq b$：$\large\int_{L}f(x,y)ds=\int_a^b f[x,y(x)]\sqrt{1+(y'_x)^2}dx$
• $L$ 为 $x=x(t),y=y(t),\alpha\leq t\leq \beta$：$\large\int_{L}f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[x(t),y(t)]\sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2}dt$
• 若平面曲线 $L$ 由极坐标 $r=r(\theta)~(\alpha\leq\theta\leq\beta)$ 给出：$\large\int_{L}f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta]\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$

应用：物质曲杆

• 曲杆长度(弧长)：$L=\int_{L}ds=\int_a^b \sqrt{1+(y'_x)^2}dx$
• 总质量：$m=\int_{L}\rho(x,y)ds$
• 重心(质心)：$\large\bar{x}=\frac{\int_{L}x\rho(x,y,z)ds}{\int_{L}\rho(x,y,z)ds},\bar{y}=\frac{\int_{L}y\rho(x,y,z)ds}{\int_{L}\rho(x,y,z)ds},\bar{z}=\frac{\int_{L}z\rho(x,y,z)ds}{\int_{L}\rho(x,y,z)ds}$
• 转动惯量：$I_x=\int_{L}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)ds,I_y=\int_{L}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)ds,I_z=\int_{L}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)ds,I_O=\int_{L}(x^2+y^2+z^2)\rho(x,y,z)ds$

第一型曲面积分

对称性：

• 普通对称性：假设 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 面对称，则

  其中 $\Sigma_1$ 是 $\Sigma$ 在 $yOz$ 面前面的部分。关于其他坐标面对称的情况与此类似。

• 轮换对称性：若把 $x$ 与 $y$ 对调后 (只针对于投影到 $xOy$ 平面的情况)，$\Sigma$ 不变，则 $\large\iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS=\iint\limits_{\Sigma}f(y,x,z)dS$，这就是轮换对称性。关于其他情况与此类似。

计算：一投二代三计算 (化为二重积分)

应用：曲面薄片(物质曲面)

• 曲面面积：$S=\iint\limits_{\Sigma}dS=\iint\limits_{D_{xy}} \sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$
• 总质量：$m=\iint\limits_{\Sigma}\rho(x,y)dS$
• 重心(质心)：$\large\bar{x}=\frac{\iint\limits_{\Sigma}x\rho(x,y,z)dS}{\iint\limits_{\Sigma}\rho(x,y,z)dS},\bar{y}=\frac{\iint\limits_{\Sigma}y\rho(x,y,z)dS}{\iint\limits_{\Sigma}\rho(x,y,z)dS},\bar{z}=\frac{\iint\limits_{\Sigma}z\rho(x,y,z)dS}{\iint\limits_{\Sigma}\rho(x,y,z)dS}$
• 转动惯量：$I_x=\iint\limits_{\Sigma}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)dS,I_y=\iint\limits_{\Sigma}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)dS,I_z=\iint\limits_{\Sigma}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)dS,I_O=\iint\limits_{\Sigma}(x^2+y^2+z^2)\rho(x,y,z)dS$

第二型曲线积分

第二类线(面)积分的奇偶性、对称性的结论与第一类线(面)积分及重积分的结论刚好相反；

对第二类线(面)积分只能分项利用奇偶性，如对dydz的项要求积分曲面关于x=0对称，而被积函数关于x有奇偶性；而对dxdy的项就要求积分曲面关于z=0对称，而被积函数关于z有奇偶性

基本方法：一投二代三计算 (化为定积分)。如果平面有向曲线 $L$ 由参数方程 $x=x(t),y=y(t),(t:\alpha\to\beta)$ 给出，其中 $t=\alpha$ 对应着起点 $A$，$t=\beta$ 对应着终点 $B$，则可以将平面第二型曲线积分化为定积分：

这里的 $\alpha,\beta$ 谁大谁小无关紧要，关键是分别和起点与终点对应。(只对应，无大小)

格林公式：设平面有界闭区域 $D$ 由分段光滑闭曲线 $L$ 围成，$P(x,y),Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，$L$ 取正向(当一个人沿着 $L$ 的正向前进时，左手始终在 $L$ 所围成的区域 $D$ 内，若为反向，加负号变为正向)，则

• 曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式：在该封闭曲线所包围的区域 $D$ 内，$P,Q$ 具有连续的一阶偏导数

• 曲线封闭但有奇点在其内部．若除奇点外，均有 $\large\frac{\part Q}{\part x}\equiv\frac{\part P}{\part y}$ (平面旋度为 $0$)，则换路径 (一般令分母等于常数作为路径，将路径方程代入曲线积分，消去分母，路径的起点和终点不需与原路径重合)

• 非封闭曲线，若除奇点外，$\large\frac{\part Q}{\part x}\equiv\frac{\part P}{\part y}$ (平面旋度为 $0$)，则换路径：换简单路径，路径的起点和终点需要与原路径重合。换的路径与原路径围成的区域中不能包含奇点。

• 非封闭曲线，可补线使其封闭 (加线再减线)。

• 积分与路径无关问题：设在单连通区域 $D$ 内 $P,Q$ 具有一阶连续偏导数，$\large\frac{\part Q}{\part x}\equiv\frac{\part P}{\part y}$ 在 $D$ 内处处成立 (重点)

  等价于：

  当D不为单连通区域时，下面结论仍然等价，但不与$\large\frac{\part Q}{\part x}\equiv\frac{\part P}{\part y}$等价

  1. $\large\int_{L_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ 与路径无关
  2. $Pdx+Qdy$ 为某二元函数 $u(x,y)$ 的全微分
  3. $Pdx+Qdy=0$ 为全微分方程
  4. $P\vec{i}+Q\vec{j}$ 为某二元函数 $u(x,y)$ 的梯度
  5. 沿 $D$ 内任意分段光滑闭曲线 $L$ 都有 $\oint_L Pdx+Qdy=0$

  若 $P,Q$ 已知，则考正问题：验证 $\large\frac{\part Q}{\part x}\equiv\frac{\part P}{\part y}$ ，于是 $1\sim4$ 成立，再求 $\int_L$ 或 $u$

  若 $P,Q$ 中含有未知函数 (或未知参数)，则考反问题：”已知 $1\sim4$ 成立“，于是有 $\large\frac{\part Q}{\part x}\equiv\frac{\part P}{\part y}$，用此式子求出未知量，再进一步求 $\int_L$ 或 $u$

  如何求 $u$：

  • 折线法：用可变终点 $(x,y)$ 的曲线积分求出 $u(x,y)$：$\large u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+u(x_0,y_0)$，其中 $(x_0,y_0)$ 为 $D$ 内任意取定的一点。此方法需要满足 $\large\frac{\part Q}{\part x}\equiv\frac{\part P}{\part y}$，一般 $u(x_0,y_0)$ 取 $C$。

    走折线 $(x_0,y_0)\to(x,y_0)\to(x,y)$：$\large u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy+u(x_0,y_0)$

    走折线 $(x_0,y_0)\to(x_0,y)\to(x,y)$：$\large u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x_0,y)dy+u(x_0,y_0)$

  • 用凑微分法写出 $d[u(x,y)]$，在积分与路径无关条件下，有 $\large\int_{L_{AB}}Pdx+Qdy=\int_{L_{AB}}d[u(x,y)]=u(x,y)|_A^B=u(B)-u(A)$

两类曲线积分的关系：$\large\int_{L}Pdx+Qdy=\int_{L}(P\cos\alpha+Q\sin\alpha)ds=\int_{L}\vec{F}ds$，其中 $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 为 $L$ 上点 $(x,y)$ 处与 $L$ 同向的单位切向量，$\vec{F}=(P(x,y),Q(x,y))$