切线(平面)与法线(平面)

空间曲线的切线与法平面：

• 用参数方程给出曲线：$x=x(t),y=y(t),z=z(t),t\in I$，其在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的

  • 切向量 $\tau=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$
  • 切线方程 $\Large\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$
  • 法平面方程 $x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$

• 用方程组给出曲线：$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$，当 $\large\frac{\part(F,G)}{\part(y,z)}\neq0$ 时 $\Rightarrow\large\begin{cases}x=x\\y=y(x)\\z=z(x)\end{cases}$ 其在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的

  • 切向量 $\tau=(1,y'(x_0),z'(x_0))$，其中

    记下面这个：

  • 切线方程 $\Large\frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{y'(x_0)}=\frac{z-z_0}{z'(x_0)}$ (即 $\Large\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$)
  • 法平面方程 $1\cdot(x-x_0)+y'(x_0)(y-y_0)+z'(x_0)(z-z_0)=0$ (即 $A\cdot(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$)

空间曲面的切平面与法线：

• 用隐式方程给出曲面：$F(x,y,z)=0$，其在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的

  • 法向量 $\vec{n}=(F'_x|_{P_0},F'_y|_{P_0},F'_z|_{P_0})$
  • 切平面方程 $F'_x|_{P_0}\cdot(x-x_0)+F'_y|_{P_0}\cdot(y-y_0)+F'_z|_{P_0}\cdot(z-z_0)=0$
  • 法线方程 $\Large\frac{x-x_0}{F'_x|_{P_0}}=\frac{y-y_0}{F'_y|_{P_0}}=\frac{z-z_0}{F'_z|_{P_0}}$

• 用显式函数给出曲面：$z=f(x,y)\Rightarrow f(x,y)-z=0$，其在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的

  • 法向量 $\vec{n}=(f'_x(x_0,y_0),f'_y(x_0,y_0),-1)$ (此法向量方向向下)
  • 切平面方程 $f'_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0$
  • 法线方程 $\Large\frac{x-x_0}{f'_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f'_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$

• 用参数方程给出曲面：$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$

  • 固定 $v=v_0\Rightarrow u$ 曲线在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量 $\large\tau_1=(x'_u,y'_u,z'_u)|_{P_0}$

    固定 $u=u_0\Rightarrow v$ 曲线在 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量 $\large\tau_2=(x'_v,y'_v,z'_v)|_{P_0}$

    曲面法向量与 $\tau_1,\tau_2$ 均垂直，取

  • 切平面方程 $A\cdot(x-x_0)+B\cdot(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

  • 法线方程 $\Large\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$

投影与旋转曲面

空间曲线在坐标面上的投影：以求空间曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线为例，将 $\Gamma$ ：$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$ 中的 $z$ 消去，得到 $\varphi(x,y)=0$，则曲线 $\Gamma$ 在 $xOy$ 面上的投影曲线包含于曲线 $\varphi(x,y)=0,z=0$。曲线 $\Gamma$ 在其他平面上的投影曲线可类似求得。

直线L:$\Large\frac{x-a}{l}=\frac{y-b}{m}=\frac{z-c}{n}$ 在平面II:$Ax+By+Cz+D=0$ 上的投影直线计算方法：

过直线L且与平面II垂直的平面I的方程为 $\begin{vmatrix} x-a&y-b&z-c\\ l&m&n\\ A&B&C \end{vmatrix}=0\Rightarrow A_0x+B_0y+C_0z+D_0=0$

l为平面I与平面II的交线，方程为$\begin{cases} Ax+By+Cz+D=0\\ A_0x+B_0y+C_0z+D_0=0 \end{cases}$

旋转曲面：曲线 $\Gamma$ ：$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$ 绕一条定直线旋转一周所形成的曲面。一般旋转曲面的求法分以下两种：

• 绕直线 $L$：$\large\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$ 旋转形成一个旋转曲面，旋转曲面方程的求法如下：

  1. 设 $M_0(x_0,y_0,z_0),\vec{s}=(m,n,p)$，在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$，则过 $M_1$ 的纬圆上任意一点 $P(x,y,z)$ 满足条件 $\vec{M_1P}\bot \vec{s},|\vec{M_0P}|=|\vec{M_0M_1}|$

  2. 将上述方程与方程 $F(x_1,y_1,z_1)=0$ 和 $G(x_1,y_1,z_1)=0$ 联立消去 $x_1,y_1,z_1$ 便可得到旋转曲面的方程。

• 绕 $z$ 轴旋转而成的旋转曲面的方程的求法如下：(是绕直线的简化版，可以不用记， $z$ 轴的方向向量为 $\vec{s}=(0,0,1)$，点 $M_0$ 为 $(0,0,0)$)

  1. 在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$，则过 $M_1$ 的纬圆上任意一点 $P(x,y,z)$ 满足条件 $|\vec{OP}|=|\vec{OM_1}|$ 和 $z=z_1$，即 $x^2+y^2+z^2=x^2_1+y^2_1+z^2_1$，即 $x^2+y^2=x^2_1+y^2_1$。

  2. 从方程组 $\large\begin{cases}F(x_1,y_1,z)=0\\G(x_1,y_1,z)=0\\x^2+y^2=x^2_1+y^2_1 \end{cases}$ 中消去 $x_1,y_1$，便可得到旋转曲面的方程。

     如果能从方程组 $\large\begin{cases}F(x_1,y_1,z)=0\\G(x_1,y_1,z)=0\end{cases}$ 中解出 $x_1=\varphi(z)$ 和 $y_1=\psi(z)$。则旋转曲面的方程为：$x^2+y^2=\varphi^2(z)+\psi^2(z)$

向量的运算及其应用

设 $\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\vec{b}=(b_x,b_y,b_z),\vec{c}=(c_x,c_y,c_z)$

• 数量积（内积、点积）及其应用：

  • $\large\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
  • $\large\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，则 $\cos\theta=\frac{\large\vec{a}\cdot\vec{b}}{\large|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{\Large a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\Large\sqrt{a^2_x+a^2_y+a^2_z}\sqrt{b^2_x+b^2_y+b^2_z}}$，其中 $\theta$ 为 $a,b$ 的夹角。
  • $\mathop{Prj}_b\vec{a}=\frac{\large\vec{a}\cdot\vec{b}}{\large|\vec{b}|}=\frac{\Large a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\Large\sqrt{b^2_x+b^2_y+b^2_z}}$ 称为 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}(\vec{b}\neq\vec{0})$ 上的投影。
  • $\vec{a}\bot\vec{b}\Leftrightarrow a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0$

• 向量积（外积、叉积）及其应用：

  • $\large\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$ ，其中 $|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$，用右手规则确定方向 (转向角不超过 $\pi$)，$\theta$ 为 $\vec{a},\vec{b}$ 的夹角。
  • $\vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\large\frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$

• 混合积及其应用：

  • $\large[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$
  • $\large\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow$ 三向量共面

• 向量的方向角和方向余弦：

  • 非零向量 $\vec{a}$ 与 $x$轴、$y$ 轴和 $z$ 轴正向的夹角 $\alpha,\beta,\gamma$ 称为 $\vec{a}$ 的方向角。
  • $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 称为 $\vec{a}$ 的方向余弦，且 $\large\cos\alpha=\frac{a_x}{|\vec{a}|},\cos\beta=\frac{a_y}{|\vec{a}|},\cos\gamma=\frac{a_z}{|\vec{a}|}$
  • $\vec{a}^o=\frac{a}{|\vec{a}|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 称为向量 $\vec{a}$ 的单位向量（表示方向的向量）
  • 任意向量 $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=(r\cos\alpha,r\cos\beta,r\cos\gamma)=r(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，其中 $\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma$ 为 $\vec{r}$ 的方向余弦，$r$ 为 $\vec{r}$ 的模。

平面、直线及位置关系

平面：以下假设平面的法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$

• 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$
• 点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
• 三点式：$\large\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x-x_2&y-y_2&z-z_2\\x-x_3&y-y_3&z-z_3\end{vmatrix}=0$ (平面过不共线的三点 $P_i(x_i,y_i,z_i),i=1,2,3$)
• 截距式：$\large\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (平面过 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$ 三点)
• 平面束方程：均过交线 $L$ 的平面族叫作平面束，平面一的法向量为 $\vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$，平面二的法向量为 $\vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$，则过平面一、二的交线 $l$ 的平面束方程为 $\large\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$。$\mu,\lambda$ 为任意实数，当 $\mu=1$ 时，不含平面二；当 $\lambda=1$ 时，不含平面一。

直线：以下假设直线的方向向量 $\vec{\tau}=(l,m,n)$

• 一般式：$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\quad A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,\quad\vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1),\quad\vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$，其中 $\vec{n}_1$ 不平行于 $\vec{n}_2$。$\tau=\vec{n}_1\times\vec{n}_2$
• 点向式（标准式、对称式)： $\Large\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$
• 参数式：$x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt$，$M(x_0,y_0,z_0)$ 为直线上的已知点，$t$ 为参数。
• 两点式：$\Large\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ (直线过不同的两点 $P_i(x_i,y_i,z_i),i=1,2$)

位置关系：

• 点到平面的距离：点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离 $\large d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

• 点到直线的距离：点 $M_0$ 到直线 $l$ 上的距离 $\large d=\frac{|\vec{M_0M_1}\times\vec{s}|}{|\vec{s}|}$ ($\vec{s}$ 为直线的方向向量，$M_1$ 为直线上一点)

• 直线与直线：设 $\vec{\tau}_1=(l_1,m_1,n_1),\vec{\tau}_2=(l_2,m_2,n_2)$ 分别为 $L_1,L_2$ 的方向向量。

  • $L_1\bot L_2\Leftrightarrow\vec{\tau}_1\bot\vec{\tau}_2\Leftrightarrow l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0$
  • $L_1\parallel L_2\Leftrightarrow\vec{\tau}_1\parallel\vec{\tau}_2\Leftrightarrow\large\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$
  • 直线 $L_1,L_2$ 的夹角 $\theta=\arccos\frac{|\vec{\tau}_1\cdot\vec{\tau}_2|}{|\vec{\tau}_1||\vec{\tau}_2|}$，其中 $\theta=\min\{\hat{(\vec{\tau}_1,\vec{\tau}_2)},\pi-\hat{(\vec{\tau}_1,\vec{\tau}_2)}\}\in[0,\frac{\pi}{2}]$

• 平面与平面：设平面 $\pi_1,\pi_2$ 的法向量分别为 $\vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$，$\vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

  • $\pi_1\bot\pi_2\Leftrightarrow\vec{n}_1\bot\vec{n}_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
  • $\pi_1\parallel\pi_2\Leftrightarrow\vec{n}_1\parallel\vec{n}_2\Leftrightarrow\large\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$
  • 平面 $\pi_1,\pi_2$ 的夹角 $\theta=\arccos\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$，其中 $\theta=\min\{\hat{(\vec{n}_1,\vec{n}_2)},\pi-\hat{(\vec{n}_1,\vec{n}_2)}\}\in[0,\frac{\pi}{2}]$

• 平面与直线：设直线 $L$ 的方向向量为 $\vec{\tau}=(l,m,n)$，平面 $\pi$ 的法向量 $\vec{n}=(A,B,C)$

  • $L\bot\pi\Leftrightarrow\vec{\tau}\parallel\vec{n}\Leftrightarrow \large\frac{l}{A}=\frac{m}{B}=\frac{n}{C}$

  • $L\parallel\pi\Leftrightarrow\vec{\tau}\bot\vec{n}\Leftrightarrow Al+Bm+Cn=0$

  • 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的夹角 $\theta=\arcsin\frac{|\vec{\tau}\cdot\vec{n}|}{|\vec{\tau}||\vec{n}|}$，其中 $\theta=|\frac{\pi}{2}-\hat{(\vec{\tau},\vec{n})}|\in[0,\frac{\pi}{2}]$

    【注意】这里是 $\arcsin$