数项级数的判敛

• 定义与 $S_n$

  • $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$ 叫无穷级数
  • $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ 叫级数的前 $n$ 项和
  • $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛 $\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}S_n$ 存在
  • $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛 $\Rightarrow\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$ (必要不充分)
  • $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_{n+1}-u_n)$ 收敛 $\Leftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}u_n$ 存在

• 判敛法

  • 正项级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$u_n>0$

    • $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛 $\Leftrightarrow \{S_n\}$ 有界

    • 比较判别法：给出两个正项级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$，如果从某项起有 $u_n\leq v_n$ 成立，则

      • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 也收敛。(大的收敛，小的也收敛)
      • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 发散，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 也发散。(小的发散，大的也发散)

    • 比较判别法的极限形式：设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 都是正项级数，且当 $n\to\infty$ 时，$u_n,v_n$ 都趋向于 $0$，则

      重要尺度：

      • 等比级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty aq^{n-1}\begin{cases}=\frac{a}{1-q},\quad|q|<1\\发散,\quad\quad~|q|\geq1\end{cases}$
      • $p$ 级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}\begin{cases}收敛,\quad p>1\\发散,\quad p\leq1\end{cases}$
      • 广义 $p$ 级数 $\large\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n(\ln n)^p}\begin{cases}收敛,\quad p>1\\发散,\quad p\leq1\end{cases}$
      • 交错 $p$ 级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{1}{n^p}\begin{cases}绝对收敛,\quad p>1\\条件收敛,\quad 0<p\leq1\end{cases}$

    • 比值判别法(达朗贝尔)：$\large\lim\limits_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\begin{cases}<1,收敛\\>1,发散\\=1,失效\end{cases}$

    • 根值判别法(柯西)：$\large\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\begin{cases}<1,收敛\\>1,发散\\=1,失效\end{cases}$

    • 积分判别法(柯西)：设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 为正项级数，若存在 $[1,+\infty)$ 上单调减少的非负连续函数 $f(x)$，使得 $u_n=f(n)$，则级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 与反常积分 $\int_1^{+\infty}f(x)dx$ 的敛散性相同。

  • 交错级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n$，$u_n>0$：莱布尼茨判别法：若 $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$ 且 $u_n\geq u_{n+1}$ 则级数收敛。否则莱布尼茨判别法失效，拆通项。

  • 任意项级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$u_n$ 符号无限制：

    • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，称 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛。
    • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，称 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 条件收敛。

• 常用结论：

  • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 不定。反例：$\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{1}{n}$ 收敛

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则：

    • $u_n\geq0$ 时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n^2$ 收敛；
    • $u_n$ 任意时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n^2$ 不定。反例：$\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n}}$ 收敛

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则：

    • $u_n\geq0$ 时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_nu_{n+1}$ 收敛；
    • $u_n$ 任意时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_nu_{n+1}$ 不定。反例：$u_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}u_n$ 不定。反例：$\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{1}{n}$ 收敛

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{u_n}{n}$ 不定。反例：$\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{1}{\ln n}$ 收敛

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则：

    • $u_n\geq0$ 时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_{2n},\sum\limits_{n=1}^\infty u_{2n-1}$ 均收敛；
    • $u_n$ 任意时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_{2n},\sum\limits_{n=1}^\infty u_{2n-1}$ 不定。反例：$\large\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}\frac{1}{n}$ 收敛

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_{2n-1}+u_{2n})$ 收敛。(收敛级数任意加括号所得的新级数仍收敛，且和不变，但反过来推要增加 $\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$ 的条件)

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_{2n-1}-u_{2n})$ 不定。

  • 设 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_{n}\pm u_{n+1})$ 收敛， $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_{n}\pm\sum\limits_{n=1}^\infty u_{n+1}$ 收敛。

  • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛；若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 发散，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散。

  • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n^2$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{u_n}{n}$ 绝对收敛 ($\large|\frac{u_n}{n}|\leq\frac{1}{2}(u_n^2+\frac{1}{n^2})$)

  • 设 $a,b,c$ 为非零常数，且 $au_n+bv_n+cw_n=0$，则在 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n,\sum\limits_{n=1}^\infty v_n,\sum\limits_{n=1}^\infty w_n$ 中只要有两个级数是收敛的，另一个必收敛。

  • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_n\pm v_n)$ 收敛。

  • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 发散，则 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_n\pm v_n)$ 发散。

  • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 发散，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 发散，则：

    • $u_n\geq0,v_n\geq0$ 时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_n+v_n)$ 发散；
    • $u_n,v_n$ 任意时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty (u_n\pm v_n)$ 不定。

  • 若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 收敛，则：

    • $u_n\geq0,v_n\geq0$ 时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_nv_n$ 收敛；($u_n\cdot v_n\leq\frac{u_n^2+v_n^2}{2}$)
    • $u_n$ 任意，$v_n\geq0$ 时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|\cdot v_n$ 收敛；(比较判别法的极限形式 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|u_n|\cdot v_n}{v_n}$)
    • $u_n,v_n$ 任意时，$\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_nv_n$ 不定。

幂级数的收敛域

若 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的一般项 $u_n(x)$ 是 $n$ 次幂函数，则称 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$ 为幂级数，它是一种特殊且常用的函数项级数，其一般形式为

其中 $a_i$ 为幂级数的系数。

若给定 $x_0\in I$，有 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$ 收敛，则称点 $x_0$ 为级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的收敛点；若给定 $x_0\in I$，有 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x_0)$ 发散，则称点 $x_0$ 为级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的发散点。

函数项级数 $\large\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x)$ 的所有收敛点的集合称为它的收敛域。

具体型问题：

• 对于 $\large\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$：(一般不用)

  • 收敛半径的求法：若 $\large\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，则 $\large\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径 $R$ 的表达式为 $R=\begin{cases}\frac{1}{\rho},\quad\quad~\rho\neq0,+\infty\\+\infty,\quad\rho=0\\0,\quad\quad~\rho=+\infty\end{cases}$
  • 收敛区间与收敛域：开区间 $(-R,R)$ 为幂级数 $\large\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛区间；单独考查幂级数在 $x=\pm R$ 处的敛散性就可以确定其收敛域。

• 对于缺项幂级数 $\large\sum u(x)$：(统一用此方法)

  1. 加绝对值，即写成 $\large\sum |u(x)|$；
  2. 用正项级数的比值 (或根值) 判别法：$\large\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}$ (或 $\large\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n(x)|}$)，令其小于 $1$，求出收敛区间 $(a,b)$；
  3. 单独讨论 $x=a,x=b$ 时 $\large\sum u(x)$ 的敛散性，从而确定收敛域。

抽象型问题：

• 阿贝尔定理：当幂级数 $\large\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 在点 $x=x_1(x_1\neq0)$ 处收敛时，对于满足 $|x|<|x_1|$ 的一切 $x$，幂级数绝对收敛；当幂级数 $\large\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 在点 $x=x_2(x_2\neq0)$ 处发散时，对于满足 $|x|>|x_2|$ 的一切 $x$，幂级数发散；

• 根据阿贝尔定理，已知 $\large\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 在某点 $x=x_1(x_1\neq0)$ 的敛散性，确定该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：

  • 若在 $x_1$ 处收敛，则收敛半径 $R\geq|x_1-x_0|$；
  • 若在 $x_1$ 处发散，则收敛半径 $R\leq|x_1-x_0|$；
  • 若在 $x_1$ 处条件收敛，则收敛半径 $R=|x_1-x_0|$；

• 已知 $\large\sum a_n(x-x_1)^n$ 的敛散性信息，要求讨论 $\large\sum b_n(x-x_2)^m$ 的敛散性：

  • $(x-x_1)^n$ 与 $(x-x_2)^m$ 的转化一般通过初等变形来完成，包括：平移收敛区间，提出或乘以因式 $(x-x_0)^k$ 等。

  • $a_n$ 与 $b_n$ 的转化一般通过微积分变形来完成，包括：对级数逐项求导，对级数逐项积分等。

  • 以下三种情况，级数的收敛半径不变，收敛域要具体问题具体分析：

    • 对级数提出或者乘以因式 $(x-x_0)^k$，或者作平移等，收敛半径不变。
    • 对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小。
    • 对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大。

展开问题

考法：

• 函数展开：$f(x)=\sum a_nx^n$
• 积分展开：$\large\int_a^bf(x)dx=\sum a_n\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$ (展开后积分即可)
• 导数展开：$\large\frac{df(x)}{dx}=\sum na_nx^{n-1}$ (展开后求导即可)
• 无穷小比阶：$x\to0$ 时，$f(x)=\sum a_nx^n$ 的无穷小比阶问题

工具：

• 先积后导：$f(x)=[\int f(x)dx]'$
• 先导后积：$f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(t)dt$
• 重要展开公式

【重点】

对于 $\large\ln (1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n},-1<x\leq1$ 分母有奇有偶的情况，要考虑 $\ln (1+x)$；

对于 $\large\ln (1-x)=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{n}}{n},-1\leq x<1$ 分母有奇有偶且均为正数时，要考虑 $\ln (1-x)$；

对于 $\large\frac{1}{2}\ln (1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{2n},-1<x\leq1$ 分母为偶数的情况，要考虑 $\frac{1}{2}\ln (1+x)$；

对于 $\large\arctan x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},-1<x\leq1$ 分母为奇数的情况，要考虑 $\arctan x$；

对于 $\large e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ 分母出现阶乘的情况，要考虑 $e^x$；

对于 $\large \frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 分母出现偶数阶乘且均为正数时，要考虑 $\frac{e^x+e^{-x}}{2}$；(双曲余弦)

对于 $\large \cos x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ 分母出现偶数阶乘且正负相间时，要考虑 $\cos x$；

对于 $\large \frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 分母出现奇数阶乘且均为正数时，要考虑 $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$；(双曲正弦)

对于 $\large \sin x=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 分母出现奇数阶乘且正负相间时，要考虑 $\sin x$；

对于 $\large\frac{x}{(1-x)^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n,-1<x<1$ 没有分母且 $n$ 在分子上时，要考虑 $\frac{x}{(1-x)^2}$；